3.1. Test de comparaison d'une moyenne à une valeur de référence
Ce type de test est un test de conformité ; on l'utilise lorsque l'on cherche à savoir si la moyenne d'une série de mesures est différente ou non d'une valeur théorique ou fixée (norme).
On cherchera à contrôler l'hypothèse H0 : µ=µT
ou bien accepter l'hypothèse H1 : µ ≠ µT
où µT est la moyenne théorique et la moyenne de la population d'ou a été extrait l'échantillon.
3.1.1. Variance connue
Si la variance de la population d'où est extrait l'échantillon est connue, la loi de distribution utilisée pour le test sera la loi normale.
Conditions de validité
Dans le cas des grands échantillons (n>30) le test s'applique sans conditions de validité particulières (nous avons vu que dans ces conditions, la distribution théorique d'échantillonnage des moyenne est une distribution Normale).
Pour les petits échantillons, il sera nécessaire de faire l'hypothèse (ou de démontrer à l'aide d'un échantillon de grande taille)) que la variable étudiée est distribuée normalement dans la population.
Fonction discriminante
Elle est définie par : où m est la moyenne des valeurs observées, µT la valeur théorique, σ l'écart type dans la population.
Sous l'hypothèse H0, on va considérer que la variable ε suit une loi normale centrée réduite N(0 ;1).
Conclusions du test
Si la valeur calculée de ε est supérieure, en valeur absolue à la valeur de lue dans la table de la loi Normale pour un risque α , on rejette l'hypothèse H0, au risque α près, et on conclut à une différence significative entre la moyenne de la population et la valeur théorique. Le degré de signification du test est donné par la probabilité d'être extérieur, en valeur absolue, à la valeur ε calculée. Si la valeur calculée de est dans l'intervalle [-εα ;+εα ] on ne peut pas conclure à une différence significative entre la moyenne de la population et la valeur théorique. On ne peut pas non plus affirmer que la moyenne de la population est égale à la valeur théorique. Le risque de se tromper est alors le risque β qui devient infini en cas d'égalité des moyennes.
3.1.2. Variance inconnue
Conditions de validité
Dans le cas des petits échantillons, on doit supposer (ou démontrer) la normalité de la distribution du caractère quantitatif dans la population.
L'estimation de la variance s2 est faite sur l'échantillon.
Fonction discriminante
Elle est définie par : où m est la moyenne des valeurs observées, µT la valeur théorique, s l'écart type estimé pour la population. La variable t est la variable de Student.
Pour les grands échantillons, la variable de la loi normale peut être utilisée en approximation.
Il n'est plus nécessaire alors de démontrer la normalité du caractère quantitatif dans la population.
Hypothèses
H0 : µ=µT
H1 : µ ≠ µT
Conclusions du test
La valeur calculée de t est comparée à la valeur de tα, valeur de t lue dans la table de Student au risque α et pour un nombre de degrés de liberté égal à n-1. Si n>30, on peut prendre la valeur de εα .
Si |t|>tα , on rejette H0. Au risque α, on conclut que la moyenne de la population d'ou a été extrait l'échantillon diffère significativement de la valeur théorique.
Si t appartient à [-tα ;+tα ], on accepte H0. On ne peut pas conclure à une différence significative.
